Introduction

HAX603X: Modélisation stochastique

Joseph Salmon

joseph.salmon@inria.fr

Inria

Université de Montpellier (Imag)

CNRS

Jean-Baptiste Fermanian

jean-baptiste.fermanian@inria.fr

Université de Montpellier (Imag)

CNRS

Inria

Table des matières

• Présentation, informations générales
• Perspectives historiques
• Bibliographie

Présentation, informations générales

PS: n’oubliez pas de mettre [HAX603X] dans le titre de vos mails!

Enseignants

---

• Joseph Salmon : CM et TP
  • Directeur de recherche, Inria
  • Précédemment : Paris Diderot-Paris 7, Duke Univ., Télécom ParisTech, Univ. Washington, Univ. Montpellier
  • Spécialités : statistiques, optimisation, traitement des images, sciences participatives, apprentissage automatique
  • Bureau : 415, Bat. 9

• Jean Baptiste Fermanian : CM, TD
  • Post-doctorant, Univ. Montpellier
  • Précédemment : ENS Paris-Saclay
  • Spécialités : statistiques
  • Bureau : 121, Bat. 9

• Julien Patras : TP
  • Doctorant, IRD
  • Précédemment : Ecole Polytechnique
  • Spécialités : Statistiques, écologie
  • Bureau : LIRMM et IRD Sète

Ressources en ligne

---

Informations principales : site du cours http://josephsalmon.github.io/HAX603X

• Syllabus
• Cours (détaillé: site web)
• Slides (résumé)
• Feuilles de TD
• Feuilles de TP
• Rendu TP : Moodle de l’université (https://moodle.umontpellier.fr/course/view.php?id=5558)

Validation

---

• TP notés : Rendu = fichier Python .py unique

  • TP noté 1 : rendre en fin de session (en S7)
  • TP noté 2 : rendre en fin de session (en S15)

• CC : devoir sur table d’une heure (S16)

• Coefficients:
  • Note Session 1 : (40% CC + 30% TP 1 + 30% TP 2)
  • Note Session 2 : (30% CC + 35% TP 1 + 35% TP 2)

Important

Le rendu est individuel pour les TPs notés !

Notation pour les TPs

---

Rendu : sur Moodle, en déposant un fichier nom_prenom.py dans le dossier adéquat.

Détails de la notation des TPs :

• Qualité des réponses aux questions
• Qualité de rédaction et d’orthographe
• Qualité des graphiques (légendes, couleurs)
• Qualité du code (noms de variables, clarté, commentaires utiles, code synthétique, etc.)
• Code reproductible et absence de bug

Pénalités

• Envoi par mail : zéro
• Retard : zéro (uploader avant la fin, faites des tests, fermeture automatique de Moodle)

Prérequis - à revoir seul

---

• Bases de probabilités (en particulier “HAX506X - Théorie des Probabilités”): probabilité, densité, espérance, fonction de répartition, mesure, intégration, analyse numérique élémentaire, etc. (Foata et Fuchs 1996; Barbe et Ledoux 2006; Ouvrard 2007, 2008)

• Programmation élémentaire (en Python): if … elif… else …, for, while, fonctions, etc. HLMA310 - Logiciels scientifiques, (Courant et al. 2013), Cours de Python: Univ. Paris Diderot

• Pour aller plus loin: conditionnement, martingales (Williams 1991)

Description du cours HAX603X

---

1. Générer l’aléa
   • générateurs pseudo-aléatoires, simulations de variables aléatoires (inverse, rejet, etc.)
   • illustrations numériques et visualisation en Python (loi des grands nombres, TCL)
2. Méthode de Monte-Carlo
   • méthode de Monte-Carlo pour le calcul approché d’une intégrale
   • réduction de la variance : variables antithétiques, variables de contrôle, etc.
3. Compléments
   • vecteurs gaussiens et lien avec les lois usuelles de la statistique inférentielle (student, chi2 ou \(\chi^2\))
   • quantification de l’incertitude, intervalles de confiance
   • marches aléatoires simples, etc.

Perspectives historiques

L’aiguille de Buffon

---

• 1733: l’aiguille de Buffon, méthode d’estimation de la valeur de \(\pi\).

• Problème initial: une aiguille de taille \(1\) tombe sur un parquet composé de lattes de largeur \(1\): quelle est alors la probabilité \(P\) que l’aiguille croise une ligne de la trame du parquet ?

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon(1707-1788) : naturaliste, mathématicien et industriel français du siècle des Lumières

L’aiguille de Buffon

---

Problème initial: une aiguille de taille 1 tombe sur un parquet composé de lattes de largeur \(1\): quelle est alors la probabilité \(P\) que l’aiguille croise une ligne de la trame du parquet ?

Réponse probabiliste: \[ P = \frac{2}{\pi} \approx 0.6366 \enspace \] Une preuve de ce résultat est donnée ici

Principe de Monte Carlo et estimation (I)

---

Idée sous-jacente de Buffon :

si l’on répète cette expérience un grand nombre de fois, on peut approcher la quantité \(P\) numériquement, par exemple en proposant un estimateur \(\hat{P}_n\) qui compte la proportion de chevauchement, après avoir effectué \(n\) répétitions des lancers

Estimation de \(\pi\):

\[ \pi \approx \frac{2}{\hat{P}_n} \]

Principe de Monte Carlo et estimation (II)

---

Méthode de Monte-Carlo

---

Méthode de calcul numérique qui consiste à utiliser des nombres aléatoires pour résoudre des problèmes déterministes, plus particulièrement en grande dimension (et pas uniquement en dimension 1)

Domaines d’applications:

• la physique
• la chimie
• la biologie
• la finance
• l’apprentissage automatique

Naissance de la méthode

---

• Lieu: Los Alamos, New Mexico, USA
• Époque: seconde guerre mondial
• Contexte: Projet Manhattan, produire une bombe atomique
• Besoins: modéliser les réactions nucléaires en chaîne (combinatoires)

John von Neumann (1903-1957), mathématicien et physicien américano-hongrois, un des pères de l’informatique

Nicholas Metropolis (1915-1999), physicien gréco-américain, un des initiateurs de la méthode de Monte Carlo et du recuit simulé

Stanisław Ulam (1909-1984), mathématicien polono-américain, un des initiateurs de la méthode de Monte Carlo et de la propulsion nucléaire pulsée

Explosion de Trinity (16 Juillet 1945)

Origine du nom “Monte-Carlo”

---

Initialement: besoin de confidentialité du projet Manhattan

Monte-Carlo: connue pour ses jeux de hasard, où l’oncle de Stanisław Ulam aimait se rendre pour assouvir sa soif de jeu.

Ce serait N. Metropolis qui aurait proposé ce nom, cf. (Metropolis 1987):

En: It was at that time that I suggested an obvious name for the statistical method—a suggestion not unrelated to the fact that Stan had an uncle who would borrow money from relatives because he “just had to go to Monte Carlo”.

Fr: C’est à ce moment-là que j’ai suggéré un nom évident pour la méthode statistique—une suggestion qui n’était pas sans rapport avec le fait que Stan avait un oncle qui empruntait de l’argent à ses proches parce qu’il “devait absolument aller à Monte Carlo”.

Essor de la méthode de Monte Carlo

---

• Popularisation croissante:

  • Essor de l’informatique (depuis les années 80)
  • Essor du calcul parallèle (GPUs, clusters, etc.)

• Domaines principaux impactés:

  • Finance : évaluation des prix de produits dérivés

  • Apprentissage automatique: utilisation de l’aléatoire pour générer des scénarios

    Exemples: Alphago (2016), AlphaGeometry (2024)

Recherche arborescente Monte-Carlo (🇬🇧 : Monte Carlo tree search): analyse des scénarios les plus prometteurs, en élargissant l’arbre de recherche sur la base d’un échantillonnage aléatoire de l’espace entier (ingrédient important d’AlphaGo)

Bibliographie

Références

---

Barbe, Philippe, et Michel Ledoux. 2006. Probabilités.

Courant, J., M. de Falco, S. Gonnord, J.-C. Filliâtre, S. Conchon, G. Dowek, et B. Wack. 2013. Informatique pour tous en classes préparatoires aux grandes écoles: Manuel d’algorithmique et programmation structurée avec Python. Eyrolles.

Foata, D., et A. Fuchs. 1996. Calcul des probabilités: cours et exercices corrigés. Masson.

Metropolis, Nicholas. 1987. « The beginning of the Monte Carlo method ». Los Alamos Science, nᵒ 15: 125‑30.

Ouvrard, J.-Y. 2007. Probabilités : Tome 2, Licence - CAPES. 2ᵉ éd. Enseignement des mathématiques. Cassini.

———. 2008. Probabilités : Tome 1, Licence - CAPES. 2ᵉ éd. Enseignement des mathématiques. Cassini.

Williams, D. 1991. Probability with martingales. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge: Cambridge University Press.