HAX603X: Modélisation stochastique
Université de Montpellier (Imag)
CNRS
Inria
Définition 1 (Vecteur gaussien) Un vecteur aléatoire
Conséquence chaque (loi marginale)
Contre-exemple:
Notation: on note
Pour un tel
Preuve
et
Conséquence:
En particulier, si les variables aléatoires
Cas
La loi de
Proposition 1 (Densité de la loi gaussienne multivariée) Soient
Preuve: Soit
Application de la formule du changement de variable avec
De plus
On en déduit la densité de
Proposition 2 (Transformation affine de vecteurs gaussiens) Soit
Cette proposition se prouve sans peine en utilisant la fonction caractéristique On retrouve en particulier la stabilité par transformation affine établie en dimension
Théorème 1 (Factorisation de Cholesky) Soit
Preuve: la factorisation de Cholesky est une conséquence directe de la méthode du pivot de Gauss; détails (Th. 4.4.1, Ciarlet 2006).
Utilité: Résolution de systèmes linéaires “
Algorithme proposé par André-Louis Cholesky: (1875-1918) ingénieur topographe et géodésien dans l’armée française, mort des suites de blessures reçues au champs de bataille. 
En numpy, la factorisation de Cholesky est disponible via la fonction linalg.cholesky.
import numpy as np
Sigma = np.array([[1, 0.5], [0.5, 2]])
L = np.linalg.cholesky(Sigma)
print(f"Sigma:\n{Sigma}\n")
print(f"L:\n{L}\n")
print(f"LL^T:\n{L@L.T}\n")
print(f"L^TL:\n{L.T@L}\n")Sigma:
[[1. 0.5]
[0.5 2. ]]
L:
[[1. 0. ]
[0.5 1.32287566]]
LL^T:
[[1. 0.5]
[0.5 2. ]]
L^TL:
[[1.25 0.66143783]
[0.66143783 1.75 ]]
La matrice
La matrice
La proposition Proposition 2 assure alors que le vecteur
En dimension
cf. cours
