Le but de ce TP est de faire différentes simulations liées aux marches aléatoires.
Marche aléatoire simple symétrique
On rappelle qu’une marche aléatoire simple symétrique est une suite (S_n) telle que S_0=x est déterministe et S_{n+1}=S_n+X_{n+1}=S_0+\sum_{k=1}^{n+1}X_k où (X_n) est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi donnée par \mathbb{P}(X_1=1)=\mathbb{P}(X_1=-1)=1/2.
- Construire un simulateur de marche aléatoire prenant en entrée la valeur de S_0 et un horizon de temps N et donnant en sortie la suite (S_n)_{0\leq n\leq N}
- Tracer quelques trajectoires de la marche pour x=0 et N=100.
- Construire un simulateur du problème de la ruine de la joueuse prenant en entrée la valeur de S_0, la plafond de gain a et le plancher de perte b et donnant en sortie la suite (S_n) de l’instant n=0 au premier instant où la marche touche a ou b.
- Tracer quelques trajectoires du jeu pour x=10, a=20, b=0.
- Estimer la probabilité de ruine par la méthode de Monte Carlo avec les mêmes paramètres x=10, a=20, b=0.
- Estimer la durée moyenne du jeu par la méthode de Monte Carlo avec les mêmes paramètres x=10, a=20, b=0.
Mouvement brownien
On rappelle que le mouvement Brownien (B_t)_{t\in[0,1]} peut s’obtenir comme la limite de B^N_t =\frac{1}{\sqrt{N}} S_{\lfloor Nt \rfloor} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=1}^{\lfloor Nt \rfloor} X_k. lorsque N tend vers l’infini, où (S_n) est une marche aléatoire simple symétrique telle que S_0=0.
- Simuler une marche aléatoire (S_n) à 100\ 000. En utilisant les N premières coordonnées de cette marche, tracer une trajectoire de B^N sur [0,1] pour N=100, N=1\ 000, N=10\ 000 et N=100\ 000. Commenter.
Un modèle de processus plus avancé
On veut simuler les trajectoires d’un actif risqué (S_t)_{0\leq t\leq 1} suivant le modèle de Black et Scholes. Sa dynamique est définie de la façon suivante S_t=\exp\big(\mu t-\frac{\sigma^2}{2}t+\sigma B_t\big),\qquad 0\leq t\leq1. Le paramètre \mu s’appelle la dérive et le paramètre \sigma la volatilité. Pour simuler (S_t) on va utiliser le simulateur de mouvement Brownien de la question précédente.
- Simuler une trajectoire du mouvement Brownien avec un pas de discrétisation de N=10\ 000. En utilisant uniquement ce même tirage pour tous jeux de paramètres, tracer sur un même graphique les trajectoires d’un actif risqué (S_t)_{0\leq t\leq 1} qui évolue suivant le modèle de Black et Scholes pour chacun des jeux de paramètres suivants:
\sigma=10\% et \mu=0\%, \mu=1\%, \mu=5\%, \mu=10\%, \mu=20\%, \mu=50\%.
\mu=20\% et \sigma=1\%, \sigma=2\%, \sigma=5\%, \sigma=10\%, \sigma=15\%, \sigma=20\%
- Quel est l’effet des changements de dérive et de volatilité sur l’aspect des trajectoires? Comment l’expliquer ?